ПРОГРАМА

курсу "Вища математика" для студентів геологічного факультету.

Спеціальність гелогія.

1. Вища математика і природничі науки. Застосування математики в геології.

2. Матриці та визначники. Поняття визначника п - то порядку. Обчислення визначників другого та третього порядку. Властивості визначників, мінор, алгебраїчне доповнення, основна теорема теорії визначників. Типи матриць, додавання та множення матриць, обернена матриця. Розв'язування лінійних алгебраїчних рівнянь. Формула Крамера. Метод Гауса розв'язування лінійних алгебраїчних рівнянь.

3. Векторна алгебра. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність векторів, база, розклад вектора у заданій базі, косокутна система координат. Декартова база, радіус-вектор точки і його напрямляючі кути. Найпростіші задачі методу координат у просторі. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.

4. Метод координат на площині. Декартова прямокутна система координат. Перетворення прямокутної системи координат: паралельний перенос і поворот. Полярна система координат. Найпростіші задачі методу координат: обчислення відстані між двома точками, поділ відрізка у заданому відношенні. Лінія на площині та її рівняння; рівняння прямої: загальне, у відрізках, з кутовим коефіцієнтом, через дві точки. Кут між двома прямими, умови їх паралельності та перпендикулярності. Обчислення відстані від точки до прямої. Лінії другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

5. Поняття про поверхні та лінії у просторі. Рівняння площини і прямої у просторі.

6. Поняття множини.Множина дійсних чисел. Комплексні числа та дії з ними. Означення функції, способи завдання функції, обернена та складена функції.

7. Теорія границь. Границя числової послідовності. Безмежно-малі і безмежно великі числові послідовності та їх властивості, нескінченно-велика, порівняння нескінченно-малих. Основні теореми про границі, ознаки існування границь. Границя функції неперервного аргументу. Неперервність функції. Важливі границі:

Натуральний логарифм, експоненціальна функція, гіперболічні функції.

8. Похідна функції. Означення похідної, її геометричний і фізичний зміст. Основні правила диференціювання: похідна суми, добутку, частки, складеної і оберненої функції. Похідні елементарних функцій. Диференціал функції та його застосування. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

9. Застосування диференціювання до дослідження функцій. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші та правило Лопіталя. Умови монотонності функції. Екстремум функції, необхідна та достатні умови існування екстремуму. Опуклість графіка функції і точки перегину. Знаходження асимптот.

10. Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Основна таблиця інтегралів елементарних функцій. Основні методи інтегрування функцій:метод розкладу, метод заміни змінних і метод інтегрування за частинами.

11. Означення визначеного інтеграла та його властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Обчислення визначеного інтеграла методом заміни змінної та методом інтегрування за частинами.Наближені обчислення визначеного інтеграла. Невласні інтеграли 1-го та 2-го роду. Застосування визначеного інтеграла: обчислення площі в декартових та полярних координатах, обчислення довжини дуги, об'єму та площі тіла обертання. Застосування інтеграла до задач геології.

12. Числові та функціональні ряди. Необхіда ознака збіжності. Ознака порівняння. Ознака Даламбера. Ознака Коші. Інтегальна ознака Коші. Абсолютна та умовна збіжність ряду. Знакозмінні ряди та їх ознака збіжності. Функціональні ряди та їх збіжність. Степеневі

f

ряди. Радіус збіжності степеневого ряду. Ряди Тейлора та Маклорена. Розклалад елементарних функцій у степеневі ряди. Формула Ейлера. Ряди Фур'є. Ознака збіжності рядів Фур'є. Застосування рядів Фур'є.

13. Диференціювання функцій багатьох змінних. Поняття про п -вимірний простір, границя та неперервність функції декількох змінних. Частинні похідні та повний диференціал, похідні складених та неявних функцій. Частинні похідні та повні диференціали вищих порядків. Формула Тейлора функції багатьох змінних. Екстремум функції двох змінних.

14. Криволінійні та кратні інтеграли. Криволійні інтеграли першого та другого роду, та їх зведення до означенного інтегралу. Подвійні та потрійні інтеграли та їх зведення до повторного. Формула Гріна. Формула Стокса. Формула Острогадського. Елементи теорії поля.

15. Диференціальні рівняння. Інтегровані типи рівнянь 1-го порядку: рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні та-типу повного диференціала. Лінійні диференціальні рівняння другого та вищих порядків, властивості їх розв'язків. Розв'язування лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами: однорідних та неоднорідних, їх застосування в теорії коливань.

16. Предмет теорії Імовірностей та математичної статистики. Основні поняття теорії ймовірності. Класифікація подій. Операції над подіями. Елементи комбінаторики.

17. Поняття про ймовірність, як міру достовірності події. Класична ймовірність. Геометрична ймовірність. Статистична оцінка ймовірності.

18. Ймовірність та операції над подіями. Ймовірність суми. Ймовірність протилежної події. Умовна ймовірність. Ймовірність добутку подій.

19. Формула повної ймовірності. Формула Баєса.

20. Формула Бернуллі. Теорема про появу події хоча б раз в п незалежних спробах.

21. Випадкові величини та їх класифікація. Математичне сподівання та дисперсія дискретної випадкової величини та їх властивості. Середньоквадратичне відхилення.

22. Функція розподілу та її властивості. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу та її властивості. Розподіл Бернуллі. Розподіл Пуассона. Нормальний розподіл.

23. Закон великих чисел. Теорема Чебишева та наслідки з неї. Теорема Ляпунова. Теорема Муавра - Лапласа. Теорема Пуассона.

24. Система випадкових величин. Функція та щільність сумісного розподілу та її властивості.

25. Умовні математичні сподівання. Коваріація. Кореляція. Лінійна регресія.

26. Основні задачі математичної статистики. Типи вибірок. Статистичні оцінки параметрів розподілу.

27. Групова та загальна середні. Вибіркова та генеральна дисперсії. Групова, внутрігрупова і міжгрупова дисперсії. Теорема про додавання дисперсій.

28. Інтервали довір'я для параметрів розподілу - математичне сподівання, дисперсії, Середньоквадратичне відхилення.

29. Елементи теорії кореляції. Функціональна та статистична залежність. Вибіркове рівняння регресії. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення. Криволінійна кореляція. Поняття про множинну кореляцію.

30. Статистичні гіпотези. Нульова, конкуруюча, проста та складна гіпотези. Критерії та критичні області. Критерій для перевірки статистичної гіпотези про математичне сподівання.

ЛІТЕРАТУРА

1. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики. Изд-во "Наука", М. 1975.-1989.

2. В.С.Щипачев. Курс высшей математики. М. "Наука", 1985.

3. А.А.Гусак, Высшая математика. Т.1,2. Минск. Изд-во "Университет", 1983, 1984.

4. Ф.С.Гудименко. Вища математика. В-во Київського ун-ту, 1964.

5. В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. М. "Наука", 1979.

6. В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. "Высшая школа", 1977.

Програму склав доцент Гаталевич A.I.