Львівський національний університет імені Івана Франка

Геологічний факультет, кафедра фізики Землі

Геостатистика (курс лекцій від Хом’яка М.М.)

1.3. Функція розподілу.
Характеристики статистичного матеріалу

Сторінки:

Зміст лекції:

<< 1 2 3 4 5 6 7 ? >>

Властивості функції розподілу

1. Функція розподілу визначена на всій числовій осі: [-,+]. Якщо вибірка містить значення тільки з деякого діапазону (наприклад, додатні), то для решти значень її можна довизначити нулем (для функції густини розподілу).

2. Змінюється в межах від 0 до 1:

0 p(x) dx 1,  0 F (b) 1.

Зауважимо, що сама функція густини розподілу може набувати значень, що перевищують 1, на відміну від полігона частот, значення якого знаходимо з допомогою частотного відношення, що не може перевищувати 1. Геометрична інтерпретація цього факту – еквівалентні площі прямокутника, трапеції та криволінійної трапеції.

3. Інтегральна функція розподілу є монотонно неспадною:

F(a) F(b) , b > a , F(-) = 0,  F(+) = 1.

4. Площа під графіком функції густини розподілу завжди дорівнює 1 (наслідок із формули для повної системи подій):

    ^{або   .}

5. Зв’язок між густиною та функцією розподілу такий:

    ^{або     .}

6. Формули для обчислення ймовірності появи значень із заданого діапазону:

P(t a) = F(a);        P(t > a) = 1 – F(a);

P(a t b) = p(x)dx = F(a) – F(b), b > a;

P( | t |   ) = F() – F(–), > 0;

P( | t – a |   ) = F(a +) – F(a – ), a, > 0.

Якщо густина розподілу є симетричною функцією p(a – x) = p(a + x) 
щодо вертикальної лінії x = a (рис. 3.1), то

P( | t – a |   ) = 2F(a +) – 1, P( | t – a | >  ) = 2(1 – F(a +)),

зокрема, для a = 0:

P( | t |   ) = 2F() – 1, P( | t | >  ) = 2(1 – F()).

Рис. 3.1. Визначення інтервальної ймовірності.

Розрізняють пряму та обернену задачу для інтегральної функції розподілу: обчислити ймовірність появи значень F(x), що не перевищує задане число x (пряма задача), а також за заданою ймовірністю появи F(x) знайти число x (критичне значення), що є верхньою межою значень, які можуть появлятися (імовірнісний (пів)інтервал).